Aturan Semantik (Semantic Rule) pada Logika dan Sifat Aljabar Logika

Aturan Semantik (Semantic Rule)

Aturan semantik adalah suatu aturan yang dipakai untuk menentukan arti atau makna dari suatu kalimat logika atau nilai kebenaran (truth value) dari suatu kalimat (sentence).

Sebelum lanjut ke pembahasan sebaiknya kamu kunjungi artikel berikut ini terlebih dulu :

• Apa itu Gerbang Logika dan Jenis Operasinya
• Contoh Gerbang Logika dan Tabel Kebenaran

Berikut adalah aturan-aturan semantik untuk kalimat logika :

1. Negation Rule (Aturan NOT)

Jika p adalah "Semarang ibukota Jawa Tengah". maka ingkaran atau negasi dari pernyataan p tersebut adalah ¬p yaitu "Semarang bukan ibukota Jawa Tengah" atau "Tidak benar bahwa Semarang ibukota Jawa Tengah". Jika p diatas bernilai benar (true), maka ingkaran p (¬p) adalah bernilai salah (false) dan begitupun sebaliknya.

2. Conjunction Rule (Aturan AND)

Aturan konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung "DAN/AND" dengan notasi "^".

Contoh

p: Yessy makan nasi

q: Yessy minum kopi

Maka p^q : Yessy makan nasi dan minum kopi

Pada konjungsi p^q akan bernilai benar jika baik p maupun q bernilai benar. Jika salah satunya (antar keduanya) bernilai salah, maka p^q bernilai salah.

Konjungsi bernilai benar (true) jika kedua proposisi penyusunnya bernilai benar (true). Sedangkan apabila salah satu proposisi penyusunnya bernilai salah atau bahkan keduanya bernilai salah (false), maka konjungsi bernilai salah (false).

3. Disjunction Rule (Aturan OR)

Aturan Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung "ATAU/OR" dengan notasi "∨".

Kalimat disjungsi bisa memiliki dua makna atau arti, yaitu :

a. Inclusive-OR (Aturan Atau)

Inclusive-OR yaitu jika "p benar atau q benar atau keduanya benar".

Contoh

p: 7 adalah bilangan prima

q: 7 adalah bilangan ganjil

p ∨ q: 7 adalah bilangan prima atau ganjil

Benar bahwa 7 bisa dikatakan bilangan prima sekaligus bilangan ganjil.

Disjunction bernilai salah (false) jika kedua proposisi penyusunnya bernilai salah (false). Jika salah satu proposisi penyusunnya bernilai benar atau bahkan keduanya bernilai benar (true), maka disjungsi bernilai benar (true).

b. Exclusive-OR (Aturan XOR)

menggabungkan dua proposisi untuk membentuk logika "exclusive or". Perhatikan bahwa p⊕q berarti p benar, atau q benar tapi tidak dua-duanya benar.

Disebut exclusive or, karena tidak memungkinkan p dan q keduanya benar.

4. Implication Rule (Aturan IF-THEN)

Aturan Implikasi adalah pernyataan majemuk yang berupa rangkaian dari dua pernyataan yang dihubungkan dengan kata penghubung "Jika..,Maka..". Implikasi dua pernyataam p dan q ditulis p→q (dibaca: jika p, maka q). Pernyataan p disebut anteseden dan pernyataan q disebut konsekuen.

Sebuah kalimat implikasi p→q bernilai salah jika p (anteseden) bernilai true dan q (konsekuen) bernilai false, selain itu implikasi bernilai true.

Berikut tabel kebenaran dari aturan implikasi :

Contoh

Misalkan

p: Yessy lulus ujian nasional

q: Ayah akan membelikan motor baru

Dari pernyataan diatas kejadian implikasi yang mungkin terjadi adalah :

• Jika p benar dan q benar berarti Yessy lulus ujuan kemudian ayah membelikan motor. Apakah Yessy senang? tentu iya. Berarti nilai "jika p maka q" benar (true).
• Jika p benar dan q salah berarti Yessy lulus ujian kemudian ayah tidak membelikan motor baru. Apakah Yessy senang? tentu tidak. Yessy pastinya akan protes dan menagih janji ayah untuk membelikan motor. Protes yang dilakukan menandai nilai "jika p maka q" bernilai salah (false).
• Jika p salah dan q benar brarti Yessy tidak lulus ujian kemudian ayah membelikan motor. Apakah Yessy senang, tentunya iya. Walopun tidak lulus tapi ayahnya masih membelikan motor baru. Yessy tidak akan protes kan? Jadi respon positif Yessy menandai nilai "jika p maka q" bernilai benar (true).
• Jika p salah dan q salah berarti Yessy tidak lulus ujian kemudian ayah tidak membelikan motor. Lalu bagaimana tanggapan yessy? Yessy tidak akan protes kan? karena Yessy tahu bahwa jika tidak lulus pastinya tidak ada harapan dibelikan motor. Sehingga nilai "jika p maka q" bernilai benar (true).

Jika matahari terbit di sebelah barat, maka Budi lulus ujian.

Implikasi di atas

5. Equivalence Rule (Aturan IF-AND ONLY-IF)

Biimplikasi atau equivalence adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dengan notasi "p↔q".

Biimplikasi p↔q bisa dimaknai sebagai implikasi dua arah p→q dan p←q atau merupakan konjungsi "( p→q)^( p←q)". Sehingga nilai kebenaran dari p↔q dapat ditentukan berdasarkan nilai kebenaran ( p→q)^( p←q).

Biimplikasi dua pernyataan hanya akan bernilai benar jika implikasi kedua kalimat penyusunnya sama-sama bernilai benar.

Perhatikan tabel kebenaran dari aturan biimplikasi

Dari tabel kebenaran biimplikasi maka biimplikasi p↔q bernilai benar hanya jika kedua pernyataan p dan q bernilai sama (keduanya sama bernilai benar   atau keduanya bernilai salah). Selain daipada itu, biimplikasi bernilai salah.

Contoh

Jakarta adalah ibukota negara Indonesia jika dan hanya jika Gunung Semeru berada di pulai Jawa

Jawab

Misalnya

p: Jakarta adalah ibukota negara Indonesia

q: Gunung Semeru berada di pulai Jawa

Pernyataan p dan q  keduanya bernilai benar maka biimplikasi p↔q bernilai benar (true).

6. Conditional Rule (Aturan IF-THEN-ELSE) 

Nilai kebenaran dari aturan kondisional yaitu if p then q else r adalah sama dengan nilai kebenaran dari q (Jika nilai p adalah benar) dan bernilai sama dengan r (jika nilai p adalah salah). Dengan kata lain, jika p benar berlaku q dan jika p salah maka yang berlaku adalah r.

Sifat-Sifat Aljabar Logika dari Aturan Konjungsi dan Disjungsi

Dari aturan disjungsi dan konjungsi, muncul sifat-sifat aljabar logika, yaitu :

Hukum Idempoten

• p∨p ⇔ p
• p∧p ⇔ p

Hukum Komutatif

• p∨q ⇔ q∨p 
•  p∧q ⇔ q∧p

Hukum Asosiatif

• (p∨q)∨r ⇔ p∨(q∨r)
•  (p∧q)∧r ⇔ p∧(q∧r)

Hukum Distributif

• p∨(q∧r) ⇔ (p∨q)∧(p∨r) 
• p∧(q∨r) ⇔ (p∧q)∨(p∧r

Hukum Identitas

• p∨false ⇔ p
• p∧true ⇔ p 
• p∨true ⇔ true
• p∧false ⇔ false

Hukum Komplemen

• p∨¬p⇔ true
• p∧¬p⇔ false
• ¬(¬p) ⇔ p

Hukum De Morgan

Hukum De Morgan ini merupakan negasi dari konjungsi dan disjungs

• ¬(p∧q) ⇔ ¬p ∨ ¬q
• ¬(p∨q) ⇔ ¬p ∧ ¬q